伟大的作曲家伊戈尔·斯特拉文斯基（Igor Stravinsky）曾说：“音乐这种形式和数学较为接近——也许不是和数学本身相关，但肯定与数学思维和关系式有关。”今天的文章围绕着“弦”，讲述了数学与音乐之间的亲密关系。这场论战对微积分之后的数学发展产生了深远的影响，但音乐仍然是音乐，是“灵魂的语言”。

译者 | 张岭（中科院地质与地球物理研究所博士）

很久很久以前，也许是 5000 年前的某一天，一位不知名姓的猎人发现，当他拨动猎弓的弓弦时，弓弦发出的声音具有某种特定的音高。大约 2500 年前，萨摩斯的毕达哥拉斯发现，在琴弦长度和其音高之间存在着一个定量关系，这是人们将音乐与数学联系起来的首次尝试。但是，要想更为全面地理解两者之间的关系，则要等到 18 世纪，那时，将有四位伟大的数学家致力于解决这一问题——他们试图用新近创立的微积分来寻找答案。

如果我们拨弄吉他的琴弦，或者用琴锤敲击钢琴的琴弦，琴弦的静止状态就会受到扰动，那么此时，问题的关键就是如何确定这条紧绷的、柔韧的琴弦的形状。在前一种情形下，琴弦被赋予初始的位移；而在后一种情形下，琴弦被赋予的则是初始的速度。总之，这两种情况均给出了琴弦的“初始状态”。原则上，根据初始状态就可以确定琴弦在未来任何时间的形状。

我们拨弄琴弦的时候，会瞬间扰动其静止状态，琴弦会形成一个三角形，尽管这个三角形又长又矮（肉眼很难确定高度）。在我们放开琴弦的一瞬间，这种干扰会分成两个脉冲，沿相反的方向顺着琴弦传播开来。它们传播的速度取决于琴弦的物理参数，即撑住琴弦的张力和琴弦材料的线密度（单位长度的质量）。实际上，琴弦所起的作用相当于一个一维的波导，使信号沿着该介质传输。

如果琴弦无限长，那么这两个脉冲将沿相反的方向永远行进下去—当然，这里有个假设条件，即不存在迟滞运动的摩擦力。但实际上，琴弦的长度是有限的；其两端被紧紧固定，导致两个脉冲在两个端点间来回运动，它们会周期性地组合成“驻波”（standing wave），即一种上下运动，而琴弦上的每一个点都参与其中。这种周期性运动只能是一种以琴弦的最低频率，即基频，振动的纯粹的正弦波，或者是若干频率为基频的2、3、4、…倍的正弦波的叠加组合。这就是我们在上一章中提到的谐波，它们将琴弦分解成单个的部分，其波长分别为基本波长的1/2、1/3、1/4、…，并且每一部分的振动都彼此独立。琴弦的实际运动则是所有这些波的总和或者叠加。

18世纪的数学家面临着一个困境：如何确定琴弦被拨弄时所形成的初始三角形的形状？该三角形有一个尖锐的顶角，它会演变成许多—也许是无数个—正弦波彼此叠加在一起，每个波的形状都异常平滑。这个问题成了一场激烈辩论的焦点，几乎每位数学家都不遗余力地参与其中。他们之中，有四个名字脱颖而出：丹尼尔·贝尔努利（Daniel Bernoulli， 1700-1782），莱昂哈德·欧拉，让·勒朗·达朗贝尔（Jeanle Rond D'Alembert，1717-1783）和约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）。下面，我们先简单介绍一下这四位主角。

丹尼尔·贝尔努利是一个显赫家族的第二代，他的家族数学家和物理学家辈出。这个家族来自瑞士巴塞尔（Basel），一座安详宁静的大学城。经过五代的传承，贝尔努利家族至少出过八位杰出的成员。这些家族成员之间相互竞争，彼此嫉妒，他们做出了很多的发现，也不断卷入因这些发现而引起的诸多论战之中。他们会就工作中的技术细节激烈辩论，而家族成员之间的论战对此更是火上浇油。

丹尼尔的父亲约翰［Johann，也被称为让（Jeanne），1667-1748］，及其兄长雅各布［Jakob，也被称为雅克（Jacques）或者詹姆斯（James），1654—1705］是贝尔努利家族在数学领域取得非凡成就的第一代成员。老贝尔努利们充分利用新近创立的微积分理论，在连续介质力学的几个领域做出了重要的贡献，其中包括弹性力学、流体力学以及振动理论等。雅各布还撰写了一篇关于概率理论的、具有里程碑意义的论文，即《推想的艺术》（Ars conjectandi，该书在雅各布去世后于 1713 年出版）。丹尼尔·贝尔努利继承了父辈的事业，他在 1738 年发表的论文《流体力学》（Hydrodynamica）中提出了一个以他的姓氏命名的著名定律（即“贝尔努利定律”），为飞行理论奠定了基础。丹尼尔和父亲经常投身于相同问题的研究工作，他们分享各自的见解，但会为某些细枝末节而争吵不休。有一次，约翰由于不得不和丹尼尔一起分享巴黎科学院（Paris Academy of Sciences）的一项殊荣而大为光火，最终将儿子永远逐出门墙。在家族中，丹尼尔是唯一一位在数学理论及实验物理学方面均取得不朽成就的人，而其他人的最主要成就都是成为数学家。